清风细月3的答题竞赛题目6

清风细月3

欧拉公式
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小象张梓墨

[e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)]

在这个公式中：

• (e) 是自然对数的底，大约等于2.71828。
• (i) 是虚数单位，它满足 (i^2 = -1)。
• (\theta) 是一个实数，代表角度（以弧度为单位）。
• (\cos(\theta)) 代表余弦函数，返回给定角度的余弦值。
• (\sin(\theta)) 代表正弦函数，返回给定角度的正弦值。
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这个公式表明，将自然对数的底 (e) 的虚数次方 (i\theta) 转化为复数形式，可以得到一个复数，其中实部是 (\cos(\theta))，虚部是 (\sin(\theta))。这是一个非常重要的公式，因为它将复数、指数函数和三角函数融合在一起，为解决许多数学和工程问题提供了强大的工具。

欧拉公式也有一个特殊情况，当 (\theta = \pi) 时，它导致了著名的欧拉恒等式（Euler's identity）：

[e^{i\pi} + 1 = 0]

这个恒等式被认为是数学中最美丽的公式之一，因为它将五个重要的数学常数（(e)、(i)、(\pi)、(1) 和 (0)）联系在一起。

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